II.剪绳子 - Lab.Lawliet

1040 字

5 分钟

II.剪绳子

2021-07-27

2026-10-12

一、题目#

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

1
输入: 2
2
输出: 1
3
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

1
输入: 10
2
输出: 36
3
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

注意：本题与主站 343 题相同

来源：力扣（LeetCode）

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二、常规思路与问题#

咋一看，和14-I.剪绳子没什么区别嘛～不就是结果要取模嘛～

2.1 一般思路#

那你就上当了

我们用动态规划的解法来试试：

1
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
2
    if n < 4 {
3
        return n - 1
4
    }
5
    var dp = [Int](repeating: 1, count: n + 1)
6
    for i in 3...n {
7
        for j in 2..<i {
8
            dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
9
        }
10
    }
11
    return dp[n] % 1_000_000_007
12
}

试试两个测试用例：

很正常没问题嘛～🤷‍♂️

2.2 试试120#

120

居然出错了？

2.3 数据长度问题#

请注意本题的数据范围 2 <= n <= 1000 和第一题的 2 <= n <= 58，差别很大。

上面报错就是因为数据超出了范围了。

那你可能会想到，那我换 Int64 ？我换 long ？

然鹅并不行

那我每次纯数据都取一下模？

更不行，中间数据都变了，结果当然更错

我们用 `Decimal` 来接收看看`120`时到底是多大：#

12157665459056928801

120 时就已经 20位 了，更何况本题的范围最大1000。

我们就不要再数据类型的选择上进行纠结了

2.4 `Decimal` 解法#

这里将元素使用 Decimal 进行承载

1
let base = NSDecimalNumber(decimal: Decimal(1_000_000_007))
2

3
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
4
    if n < 4 {
5
        return n - 1
6
    }
7

8
    var dp = [Decimal](repeating: 1, count: n + 1)
9
    for i in 3...n {
10
        for j in 2..<i {
11
            dp[i] = max(dp[i], max(Decimal(j) * Decimal(i - j), Decimal(j) * dp[i - j]))
12
        }
13
    }
14

15
    let handler = NSDecimalNumberHandler(roundingMode: .down, scale: 0, raiseOnExactness: false, raiseOnOverflow: false, raiseOnUnderflow: false, raiseOnDivideByZero: false)
16

17
    let result = NSDecimalNumber(decimal: dp[n])
18
    let baseCount = result.dividing(by: base).rounding(accordingToBehavior: handler)
19

20
    let tp = result.subtracting(base.multiplying(by: baseCount))
21

22
    return Int(truncating: tp)
23
}

Decimal

结果到 255 的时候还是错了，还是丢失了精度。毕竟 NSDecimalNumber 也是有范围的

Decimal

感觉想继续用动态规划不太现实了

2.5 补充 Java 的 BigInteger 可以动态规划#

1
import java.math.BigInteger;
2
class Solution {
3
    public int cuttingRope(int n) {
4
        BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
5
         Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(1));
6
        // dp[1] = BigInteger.valueOf(1);
7
        for(int i = 3; i < n + 1; i++){
8
            for(int j = 1; j < i; j++){
9
                dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
10
            }
11
        }
12
        return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
13
    }
14
}

链接：作者：ollieq

这里就不再纠结数据类型了

三、贪心-循环求余#

尽可能多的切成长度为3的，乘积最大

3.1 解法#

1
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
2
    if n < 4 {
3
        return n - 1
4
    }
5
    var res = 1
6
    var n = n
7
    while n > 4 {
8
        res = res * 3 % 1_000_000_007
9
        n -= 3
10
    }
11
    return res * n % 1_000_000_007
12
}

时间复杂度	空间复杂度
O(n)	O(1)

真的是快

真快

3.2 循环求余#

详细可以移步这个题解

循环求余

四、贪心-快速幂#

核心是通过 快速幂 算法及模运算规律，控制数据范围。详细了解可以移步快速幂

LeetCode

4.1 解法#

1
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
2
    if n < 4 {
3
        return n - 1
4
    }
5
    let a = n / 3, b = n % 3
6

7
    if b == 0 {
8
        return modPow(3, a) % 1_000_000_007
9
    }
10
    else if b == 1 {
11
        return modPow(3, a - 1) * 4 % 1_000_000_007
12
    }
13
    else {
14
        return modPow(3, a) * 2 % 1_000_000_007
15
    }
16
}
17

18
func modPow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
19
    var res = 1
20
    var x = x
21
    var n = n
22

23
    while n > 0 {
24
        if n & 1 == 1 {
25
            res *= x
26
            res %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
27
        }
28
        x *= x
29
        x %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
30
        n >>= 1
31
    }
32

33
    return res
34
}